الرئيسية
أحدث الصور
التسجيل
تعد المربعات السحرية أنشطة إثرائية تساعد على تنمية مهارات التفكير الرياضي لدى التلاميذ وزيادة دافعيتهم لتعلم
الرياضيات، لذلك لاقت اهتمامًا من قبل الباحثين والمعلمين في بنائها واكتشاف الخصائص الرياضية عليها لتوضيح مبادئ
الحساب والجبر. وقد برع العرب في تقديم المربعات السحرية في صورة ألغاز، وكانوا يطلقون عليها الأشكال الترابية ، وأول من
بحث فيها هو ثابت بن قرة. واستخدمت برامج الحاسب الآلي في بناء المربعات السحرية المعقدة ونشرها على شبكة الانترنت
للاستفادة منها في تدريس وتعليم الرياضيات.
والمربع السحري هو مربع لكل من أسطره وأعمدته وأقطاره مجموع واحد ثابت،
وتبرز تطبيقات المربعات السحرية في المراحل الدراسية المختلفة من خلال التعامل مع الأعداد الطبيعية،والأعداد
الصحيحة، والأعداد الحقيقية، والكسور والمتتاليات.
وهذا المقال يقدم عدة أمثلة غير عادية من المربعات السحرية تختلف عن المربعات السحرية المألوفة لدى البعض. تم
اشتقاق شروط ضرورية وكافية لبنائها والمكونة من تسعة أرقام ومنها المربعات السحرية الجمعية والمربعات السحرية الضربية
وتتضمن مجموعة من الإثباتات المستنتجة من المربعات السحرية .
* المربع السحري الجمعي
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
الإفتراضات :
١) مجموع الأرقام بالمربع في كل صف أو عمود أو قطر = م
أي أ ب ج = د ه و = ز ح ط = أ د ز = ب ه ح = ج و ط = أ ه ط = ج
ه ز = م
٢) مجموع التسعة أرقام بالمربع = ل
الإستنتاج الأول
ل = ٣ م
مجموع أي صف أو عمود أو قطر × أي مجموع التسعة أرقام بالمربع = ٣
البرهان :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ل = ( أ ب ج) (د ه و) (ز ح ط)
= م م م = ٣م
الإستنتاج الثاني
م = ٣ ه
الرقم الموجود في وسط المربع × أي أن مجموع أي صف أو عمود أو قطر = ٣
البرهان :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
( أ ه ط) ( ج ه ز) (ب ه ح) (د ه و) = ( أ ب ج) ( د ه و) ( ز ح ط) ٣ ه
ومن الفرض ( ٢) بما أن مجموع العناصر التسعة للمربع = ل
( أ ه ط) ( ج ه ز) (ب ه ح) (د ه و) = ل ٣ ه
وبالتعويض عن كل قوس بالطرف الأيمن = م من الفرض ( ١) ، ل = ٣ م من الاستنتاج الأول
م م م م = ٣ م ٣ه ˆ
٤م = ٣م ٣ ه
م = ٣ ه وهو المطلوب.
نتائج طبيعية من الاستنتاج الثاني :
ص
ه
س
إذا كان العنصر س موجود في أي صف أو عمود أو قطر وكذلك ص عنصر موجود في أي صف أو عمود أو قطر مع بقاء
ه في وسط المربع فإننا نستنتج ما يلي :
س = ٢ ه - ص
ص = ٢ ه - س
البرهان:
من الإستنتاج الثاني م = ٣ ه
زمن المربع م = س ه ص
٣ه = س ه ص
س = ٢ه - ص ˆ
ومن نفس الخطوة نصل إلى أن ص = ٢ه - س
الاستنتاج الثالث
ل = ٩ ه
العدد الموجود في وسط المربع × أي أن مجموع الأعداد التسعة بالمربع السحري = ٩
البرهان :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ل = ٣ م من الاستنتاج الأول
٣ه) من الاستنتاج الثاني ) ٣ =
٩ ه =
٢ أ = و ح أ = و ح
٢
أ = و ح
٢
ب د ٢ ط = ب د
٢
ط =
د ح ٢ ج = د ح
٢
ج =
ب و ٢ ز = ب و
٢
ز =
الاستنتاج الرابع
أ
و ه
ح
البرهان
من المربع السحري
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
( ز ح ط ) ( د ه و) = ( أ ه ط ) ( أ د ز )
و ح = ٢ أ ومنها ˆ
بنفس الأسلوب يمكن استنتاج ما يلي :-
ويتضح كل استنتاج في المربعات التالية على الترتيب :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
٣ إذا علم فيه ه ، ن ، م × يمكننا الآن إكمال كتابة المربع السحري الجمعي ٣
ن ه
م
م
ن ه ٢ ه - ن
٢ ه - م
ن م
٢
ن - م
ه ٢ ن م
٢ ٢ ه
ن - م
ه ٢ -
أمثلة :
أكمل الجداول السحرية التالية بحيث يكون مجموع الأرقام في كل صف أو عمود أو قطر يعطي نفس الناتج :
١١ ٤ ٩
٦ ٨ ١٠
٧ ١٢ ٥
١ ٢٧ ٢٠
٣٥ ١٦ ٣-
١٢ ٥ ٣١
* المربع السحري الضربي
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
الافتراضات :
١- حاصل ضرب أرقام كل صف أو عمود أو قطر = ك
ط= ك × ه × ز = أ × ه × ط = ج × و × ح = ج × ه × ز = ب × د × ط = أ × ح × و = ز × ه × ج = د × ب × أ
٢- حاصل ضرب التسعة عناصر في المربع السحري = ي
ط = ي × ح × ز × و × ه × د × ج × ب × أ
مقارنة بين المربع السحري الجمعي والمربع السحري الضربي
المربع السحري الجمعي المربع السحري الضربي
اموع السحري للأرقام = ل حاصل الضرب السحري للأرقام = ي
×
ه ه
أ أ
أ أ (أ) ٢
أ – ب
٢ه - م
يصبح شكل المربع السحري الضربي كالتالي باستبدال خصائص المربع السحري الضربي بد ً لا من المربع السحري الجمعي:
أ ب
٢
المتوسط الحسابي أ ، ب = الوسط الهندسي أ ، ب = [أب
-
أ
ب
ه
م
٢
م
ن ه
ه
م
٢
ه
م
٢
ن ×
ه
ن
٢
م ×
ه
ن
٢ ه
م
٢
×
ه
ن
٢
م × ن
أمثلة :
أكمل الجداول السحرية التالية بحيث يكون حاصل ضرب الأرقام في كل صف أو عمود أو قطر يعطي نفس الناتج :
١٨- ٤- ٣-
١ ٦- ٣٦
١٢- ٩- ٢-
٢
١ ٤
* فكر في المسائل التالية:
١- إذا أضفنا العدد ( ٥ ) إلى كل عدد في المربع السحري . هل لا نزال نحصل على مربعًا سحريًا ؟
٢- إذا ضربنا كل عدد بالمربع السحري بأي عدد صحيح . هل لا نزال نحصل على مربعًا سحريًا ؟
٣- هل يمكن أن يكون هناك ٦ أرقام فردية و ٣ أرقام زوجية في المربع السحري . حدد كل احتمالات التوزيع للأرقام الفردية
والزوجية في المربع السحري . في كل حالة حدد أين يمكن أن تقع الأعداد الزوجية .
٤- اثبت أن أكبر وأصغر الأرقام في المربع السحري لا يمكن أن تكون أرقام ركنية . جد المواقع التي يمكن للأرقام الكبيرة أن
تشغلها في المربع السحري .
٥- في حالة المربع السحري الضربي الذي يحتوي على أعداد صحيحة فقط . حدد كم عدد من بين الأرقام التسعة يمكن أن
يكون رقمًا فرديًا .
٦- كون مربعًا سحريًا مستخدمًا الأرقام الأولية التي أقل من ١٥٠ فقط .
* يمكننا استخدام الأشكال الهندسية بد ً لا من الأرقام في المربع السحري :
مثال :
أكمل المربع السحري التالي بحيث يكون مجموع المثلثات المرسومة في كل صف أو عمود أو قطر يساوي ١٥ مثلثًا .
مثال آخر :
ضع شك ً لا هندسيا منتظما داخل المربعات التالية بحيث يكون مجموع أضلاع الأشكال المرسومة داخل كل صف أو عمود أو قطر
يساوي ١٨ ضلعًا .
* تنمية التفكير من خلال المربعات السحري في التصميم :
مثال :باستخدام الكرات القابلة للوصل صمم منطقة سكنية مربعة الشكل بحيث تمثل الدوائر الموصلة أماكن بناء ويكون مجموع
هذه الكرات في كل صف أو قطر أو عمود متساويًا .
* طرق مبسطة لتوزيع الأرقام على المربعات السحرية:
: ٣ × * تكوين المربع السحري ٣
الخطوات :
. ٣ × - ارسم مربعا من النوع ٣
- ارسم في وسط كل من جهات المربع المرسوم مربعا .
٩ في الأقطار المتكونة من ٣ مربعات ( انظر الشكل ) – - اكتب الأرقام من ١
- حرك الأرقام الموجودة في المربعات الخارجية إلى داخل المربع بحيث يتحرك كل رقم للأمام بمقدار
٣ مربعات .
٣ مربعا سحريا حيث مجموع أرقام الصف أو العمود أو القطر فيه يساوي ١٥ × - يصبح المربع ٣
. كما هو موضح في الجدول التالي:
٢ ٩ ٤
٧ ٦ ٣
٦ ١ ٨
.١٠ – ٢
الرياضيات، لذلك لاقت اهتمامًا من قبل الباحثين والمعلمين في بنائها واكتشاف الخصائص الرياضية عليها لتوضيح مبادئ
الحساب والجبر. وقد برع العرب في تقديم المربعات السحرية في صورة ألغاز، وكانوا يطلقون عليها الأشكال الترابية ، وأول من
بحث فيها هو ثابت بن قرة. واستخدمت برامج الحاسب الآلي في بناء المربعات السحرية المعقدة ونشرها على شبكة الانترنت
للاستفادة منها في تدريس وتعليم الرياضيات.
والمربع السحري هو مربع لكل من أسطره وأعمدته وأقطاره مجموع واحد ثابت،
وتبرز تطبيقات المربعات السحرية في المراحل الدراسية المختلفة من خلال التعامل مع الأعداد الطبيعية،والأعداد
الصحيحة، والأعداد الحقيقية، والكسور والمتتاليات.
وهذا المقال يقدم عدة أمثلة غير عادية من المربعات السحرية تختلف عن المربعات السحرية المألوفة لدى البعض. تم
اشتقاق شروط ضرورية وكافية لبنائها والمكونة من تسعة أرقام ومنها المربعات السحرية الجمعية والمربعات السحرية الضربية
وتتضمن مجموعة من الإثباتات المستنتجة من المربعات السحرية .
* المربع السحري الجمعي
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
الإفتراضات :
١) مجموع الأرقام بالمربع في كل صف أو عمود أو قطر = م
أي أ ب ج = د ه و = ز ح ط = أ د ز = ب ه ح = ج و ط = أ ه ط = ج
ه ز = م
٢) مجموع التسعة أرقام بالمربع = ل
الإستنتاج الأول
ل = ٣ م
مجموع أي صف أو عمود أو قطر × أي مجموع التسعة أرقام بالمربع = ٣
البرهان :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ل = ( أ ب ج) (د ه و) (ز ح ط)
= م م م = ٣م
الإستنتاج الثاني
م = ٣ ه
الرقم الموجود في وسط المربع × أي أن مجموع أي صف أو عمود أو قطر = ٣
البرهان :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
( أ ه ط) ( ج ه ز) (ب ه ح) (د ه و) = ( أ ب ج) ( د ه و) ( ز ح ط) ٣ ه
ومن الفرض ( ٢) بما أن مجموع العناصر التسعة للمربع = ل
( أ ه ط) ( ج ه ز) (ب ه ح) (د ه و) = ل ٣ ه
وبالتعويض عن كل قوس بالطرف الأيمن = م من الفرض ( ١) ، ل = ٣ م من الاستنتاج الأول
م م م م = ٣ م ٣ه ˆ
٤م = ٣م ٣ ه
م = ٣ ه وهو المطلوب.
نتائج طبيعية من الاستنتاج الثاني :
ص
ه
س
إذا كان العنصر س موجود في أي صف أو عمود أو قطر وكذلك ص عنصر موجود في أي صف أو عمود أو قطر مع بقاء
ه في وسط المربع فإننا نستنتج ما يلي :
س = ٢ ه - ص
ص = ٢ ه - س
البرهان:
من الإستنتاج الثاني م = ٣ ه
زمن المربع م = س ه ص
٣ه = س ه ص
س = ٢ه - ص ˆ
ومن نفس الخطوة نصل إلى أن ص = ٢ه - س
الاستنتاج الثالث
ل = ٩ ه
العدد الموجود في وسط المربع × أي أن مجموع الأعداد التسعة بالمربع السحري = ٩
البرهان :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ل = ٣ م من الاستنتاج الأول
٣ه) من الاستنتاج الثاني ) ٣ =
٩ ه =
٢ أ = و ح أ = و ح
٢
أ = و ح
٢
ب د ٢ ط = ب د
٢
ط =
د ح ٢ ج = د ح
٢
ج =
ب و ٢ ز = ب و
٢
ز =
الاستنتاج الرابع
أ
و ه
ح
البرهان
من المربع السحري
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
( ز ح ط ) ( د ه و) = ( أ ه ط ) ( أ د ز )
و ح = ٢ أ ومنها ˆ
بنفس الأسلوب يمكن استنتاج ما يلي :-
ويتضح كل استنتاج في المربعات التالية على الترتيب :
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
٣ إذا علم فيه ه ، ن ، م × يمكننا الآن إكمال كتابة المربع السحري الجمعي ٣
ن ه
م
م
ن ه ٢ ه - ن
٢ ه - م
ن م
٢
ن - م
ه ٢ ن م
٢ ٢ ه
ن - م
ه ٢ -
أمثلة :
أكمل الجداول السحرية التالية بحيث يكون مجموع الأرقام في كل صف أو عمود أو قطر يعطي نفس الناتج :
١١ ٤ ٩
٦ ٨ ١٠
٧ ١٢ ٥
١ ٢٧ ٢٠
٣٥ ١٦ ٣-
١٢ ٥ ٣١
* المربع السحري الضربي
ج ب أ
و ه د
ط ح ز
الافتراضات :
١- حاصل ضرب أرقام كل صف أو عمود أو قطر = ك
ط= ك × ه × ز = أ × ه × ط = ج × و × ح = ج × ه × ز = ب × د × ط = أ × ح × و = ز × ه × ج = د × ب × أ
٢- حاصل ضرب التسعة عناصر في المربع السحري = ي
ط = ي × ح × ز × و × ه × د × ج × ب × أ
مقارنة بين المربع السحري الجمعي والمربع السحري الضربي
المربع السحري الجمعي المربع السحري الضربي
اموع السحري للأرقام = ل حاصل الضرب السحري للأرقام = ي
×
ه ه
أ أ
أ أ (أ) ٢
أ – ب
٢ه - م
يصبح شكل المربع السحري الضربي كالتالي باستبدال خصائص المربع السحري الضربي بد ً لا من المربع السحري الجمعي:
أ ب
٢
المتوسط الحسابي أ ، ب = الوسط الهندسي أ ، ب = [أب
-
أ
ب
ه
م
٢
م
ن ه
ه
م
٢
ه
م
٢
ن ×
ه
ن
٢
م ×
ه
ن
٢ ه
م
٢
×
ه
ن
٢
م × ن
أمثلة :
أكمل الجداول السحرية التالية بحيث يكون حاصل ضرب الأرقام في كل صف أو عمود أو قطر يعطي نفس الناتج :
١٨- ٤- ٣-
١ ٦- ٣٦
١٢- ٩- ٢-
٢
١ ٤
* فكر في المسائل التالية:
١- إذا أضفنا العدد ( ٥ ) إلى كل عدد في المربع السحري . هل لا نزال نحصل على مربعًا سحريًا ؟
٢- إذا ضربنا كل عدد بالمربع السحري بأي عدد صحيح . هل لا نزال نحصل على مربعًا سحريًا ؟
٣- هل يمكن أن يكون هناك ٦ أرقام فردية و ٣ أرقام زوجية في المربع السحري . حدد كل احتمالات التوزيع للأرقام الفردية
والزوجية في المربع السحري . في كل حالة حدد أين يمكن أن تقع الأعداد الزوجية .
٤- اثبت أن أكبر وأصغر الأرقام في المربع السحري لا يمكن أن تكون أرقام ركنية . جد المواقع التي يمكن للأرقام الكبيرة أن
تشغلها في المربع السحري .
٥- في حالة المربع السحري الضربي الذي يحتوي على أعداد صحيحة فقط . حدد كم عدد من بين الأرقام التسعة يمكن أن
يكون رقمًا فرديًا .
٦- كون مربعًا سحريًا مستخدمًا الأرقام الأولية التي أقل من ١٥٠ فقط .
* يمكننا استخدام الأشكال الهندسية بد ً لا من الأرقام في المربع السحري :
مثال :
أكمل المربع السحري التالي بحيث يكون مجموع المثلثات المرسومة في كل صف أو عمود أو قطر يساوي ١٥ مثلثًا .
مثال آخر :
ضع شك ً لا هندسيا منتظما داخل المربعات التالية بحيث يكون مجموع أضلاع الأشكال المرسومة داخل كل صف أو عمود أو قطر
يساوي ١٨ ضلعًا .
* تنمية التفكير من خلال المربعات السحري في التصميم :
مثال :باستخدام الكرات القابلة للوصل صمم منطقة سكنية مربعة الشكل بحيث تمثل الدوائر الموصلة أماكن بناء ويكون مجموع
هذه الكرات في كل صف أو قطر أو عمود متساويًا .
* طرق مبسطة لتوزيع الأرقام على المربعات السحرية:
: ٣ × * تكوين المربع السحري ٣
الخطوات :
. ٣ × - ارسم مربعا من النوع ٣
- ارسم في وسط كل من جهات المربع المرسوم مربعا .
٩ في الأقطار المتكونة من ٣ مربعات ( انظر الشكل ) – - اكتب الأرقام من ١
- حرك الأرقام الموجودة في المربعات الخارجية إلى داخل المربع بحيث يتحرك كل رقم للأمام بمقدار
٣ مربعات .
٣ مربعا سحريا حيث مجموع أرقام الصف أو العمود أو القطر فيه يساوي ١٥ × - يصبح المربع ٣
. كما هو موضح في الجدول التالي:
٢ ٩ ٤
٧ ٦ ٣
٦ ١ ٨
.١٠ – ٢
